Boolean algebra. mantiq algebra. matematik mantiq elementlari

Bugungi dunyoda biz tobora mashinalari va asboblar turli foydalanayotgan. Va u tom ma'noda ajoyib kuch qo'llash uchun zarur emas, faqat vaqt: avtomobillar bugun robotlar to'plash va hokazo, balandligi, uni ko'tarib uzoq va chuqur xandaq qazish uchun yuk harakat, oziq-ovqat Multivarki va elementar arifmetik hisob-kitoblar kalkulyatorlar ishlab chiqarish pishirilgan bo'ladi ... Tobora ko'proq tez-tez biz iborani «boolean algebra" eshitish. Balki vaqti matematik, balki faqat hal qilish qobiliyatini robotlar va mashinalari yaratilishida insonlarning rolini tushunish kelgan mantiqiy muammolarni.

mantiq

Yunon mantiq yilda - berilgan sharoitlar o'rtasidagi munosabatlar tashkil qiladi va siz taxminlarga va taxminlarga asoslangan xulosalar qilish imkonini beradi fikr bir buyurdi tizimi. Ko'pincha, biz bir-birimizni so'rab: «Bu mantiqiy bo'ladi" javob bizning taxminlar tasdiqlaydi yoki fikr poezd tanqid. Lekin jarayoni to'xtab emas: biz gapirishni davom etmoqda.

Ba'zan sharoitda (Kirish) soni juda katta, deb, va ular orasidagi munosabatlar, inson miya barcha birdan "hazm" ga ega emas, shuning uchun chalkash va murakkab bo'ladi. Siz nima bo'layotganini tushunish uchun bir necha oy (hafta, yil) kerak bo'ladi. Lekin zamonaviy hayot bizga qarorlar qabul qilish uchun ushbu vaqt intervallarni bermaydi. Va biz kompyuterlar yordamga murojaat. Va uning qonunlari va xususiyatlari bilan, bir algebra va mantiq yo'q, deb erda. original ma'lumotlarni, barcha yuklab keyin, biz kompyuter ziddiyatlarni bartaraf etish uchun va qoniqarli yechim topish uchun, barcha munosabatlarni tan beradi.

Matematika va mantiq

Mashhur Gotfrid Vilgelm Leybnits vazifalari olimlarining faqat kichik doira tushunish oson edi », matematik mantiq", tushunchasini shakllantirish. alohida qiziqish sababini bermadi yo'nalishi hisoblanadi, va bir necha tomonidan ma'lum matematik mantiq XIX asr o'rtalarida uchun.

ilmiy hamjamiyatida katta qiziqish ingliz Dzhordzh Bul, albatta, hech amaliy foydalanish ega emas, matematik filialini tashkil etish, uning niyatini e'lon bo'lgan nizoni sabab bo'ldi. Biz faol sanoat ishlab chiqarishni rivojlantirish, bu paytda, tarixdan ma'lumki, biz yordamchi mashinalari, har xil ishlab, t. E. barcha ilmiy kashfiyotlar amaliy yo'nalishini edi.

Oldinga boqib, biz derlar Boolean algebra - dunyo matematika bugungi qismi eng ishlatiladi. Bas, argument Buhl yo'qotgan.

Dzhordzh Bul

Muallifning shaxs alohida e'tibor loyiq. Hatto o'tgan odamlar bizdan oldin o'sgan yilda, hali u Jon. Buhl 16 yillarda qishloq maktabda dars berib, va 20 yil Linkoln o'z maktabini ochdi ta'kidlash lozim, deb haqiqatni berilgan. Matematik mukammal besh xorijiy tillarni o'zlashtirib, va uning ehtiyot vaqtida, Nyuton va Lagrange asarlarini o'qib. Va barcha shu - oddiy ishchi o'g'li haqida!

1839-yilda, Buhl Kembrij Matematik jurnali o'zining birinchi ilmiy ishlar yubordi. Scientist 24 yil o'girdi. Boole ishi u rivojlantirishga qo'shgan hissasi uchun bir medal oldi 1844 yilda Royal jamiyati shuning uchun manfaatdor a'zolari, deb matematik tahlil. matematik mantiq elementlari, matematika, Cork County kolleji professori lavozimini olish yosh ruxsat bo'lgan bir necha nashr qog'ozlar tasvirlangan edi. juda Boole ta'lim Eslatib o'tamiz, emas edi.

fikr

Amalda, Boolean algebra juda oddiy. Bor bayonotlar (mantiqiy matematika nuqtai nazaridan, faqat ikki so'z bilan belgilangan bo'lishi mumkin, ifodalar): "haqiqiy" yoki "yolg'on". Misol uchun, bahor gul daraxtlar - haqiqat, yozda u qorlar - yolg'on. matematika go'zallik bu nafaqat raqamlarni foydalanish qat'iyan zarur emas. algebra hukmlari uchun juda noyob ma'no bilan hech qanday bayonot mos.

Shunday qilib, mantiq algebra tom ma'noda hamma joyda foydalanish mumkin: hodisalar va harakatlar ketma-ketligini aniqlash haqida qarama-qarshi ma'lumotlar rejalashtirish va yozishni ta'lim, tahlil qilish. eng muhim narsa - bu biz hisobotlarining haqiqatni yoki xatolik aniqlash qanday muhim emas, deb tushunib. Bu "qanday" va "nega" siz e'tiborsizlik kerak From. Muhim aslida faqat bir bayonot bo'ladi: haqiqat bir yolg'ondir.

Albatta, tegishli belgilar va ramzlar bilan qayd etiladi mantiq algebra eng muhim dasturiy vazifalari. Va ularni o'rganish - bu yangi chet tilini o'rganish, degan ma'noni anglatadi. Hech narsa mumkin emas.

Asosiy tushunchalar va ta'riflar

chuqur kirmasdan turib, biz termin bilan shug'ullanish. Shunday qilib, Boolean algebra nazarda tutadi:

• hisobot;
• mantiqiy operatsiyalar;
• vazifalari va qonunlar.

Jadvallar - ikki qimmatbaho talqin qilinishi mumkin bo'lgan har qanday ijobiy ifoda. Ular raqamlari (5> 3) yoki formuladan ko'rinib tanish so'zlar (- yirik sut emizuvchi fil) yoziladi. Bu holda, ifoda ham mavjud huquqiga ega, faqat Boolean algebra deb belgilamoq "jirafa bo'yniga emas" "yolg'ondan."

Barcha so'zlar aniq bo'lishi kerak, lekin ular asosiy yoki aralash bo'lishi mumkin. Recent foydalanish mantiqiy to'plami. Boshlang'ich mantiq operatsiyalar tashqari tomonidan tashkil algebra hukmlari tarkibdan E..

Boolean algebra operatsiyalar

Biz allaqachon hukmlari algebra bu operatsiyalarni eslayman - mantiqiy. Faqat, kiritish ayirsak, yoki raqamlarni solishtirish uchun arifmetik operatsiyalar yordamida raqamlar algebra deb, matematik mantiq elementlari inkor qilish yoki yakuniy natija hisoblash uchun, murakkab bayonotlar qilish imkonini beradi.

arifmetik bizga tanish formula bilan izhor rasmiylashtirmasdan va soddaligi uchun Mantiq operatsiyalar. Boolean algebra tenglamalar xususiyatlari imkon yozib va noma'lum hisoblash qilish. Mantiqiy operatsiyalar odatda haqiqat stol tomonidan qayd etiladi. Uning elementlarning ular bo'yicha amalga oshiriladi ustunlar va hisoblash ishlashini aniqlash va qatorlarni hisoblar natijasini ko'rsatadi.

harakatlar asosiy mantiq

Boolean algebra operatsiyalarini eng keng tarqalgan tonish (EMAS), va yoki mantiqiy VA va. Bas, u deyarli algebra hukm barcha qadamlar tasvirlab mumkin. Biz batafsil uch operatsiyalari har o'rganib.

tonish (balki) faqat bir element (operand) uchun qo'llaniladi. Shuning uchun, operatsiya bir terimli tonish deyiladi. "Emas, balki bir" yordamida bunday ramzlari tushunchasini ro'yxatga olish uchun: ¬A, bir yoki bir !. jadval shaklida bu kabi ko'rinadi:

Bunday bayonot xos inkor vazifasi: A rost bo'lsa, u holda A - yolg'on. Misol uchun, Oy Yerga atrofida aylanishi - haq; yolg'on - Yer oyga atrofida aylanishi.

Mantiqiy ko'paytirish va qo'shish

Mantiqiy KO'RSATISH bir bog'lovchi deyiladi. Bu nimani anglatadi? .. Ikkilik operatsiya - Birinchidan, u, ya'ni, men, ikki operanddan uchun qo'llanilishi mumkin, deb. Ikkinchidan, u faqat har ikki operanddan (A va B, ham) haq taqdirda haqiqiy hisoblanadi va ifoda o'zi. maqol, "Sabr va bir oz harakat" faqat ikki omil bir kishi qiyinchiliklar bilan engish yordam berishi mumkin, deb nazarda tutadi.

A∧B, A⋅B yoki A && B: ramzlar qayd uchun ishlatiladi

Bog'lovchi arifmetik ko'paytirish o'xshaydi. Ba'zan va aytish - mantiqiy ayirish. Agar jadvalga satr elementlarini ko'paytirib bo'lsa, biz mantiqiy fikrlash o'xshash natija olish.

Bo'lish mantiqiy YOKI operatsiyani hisoblanadi. bayonotlari kamida bir haqiqiy (A yoki B yo) bo'lsa, u haqdir. A∨B, A + B yoki A || B: Bu kabi yoziladi Bu operatsiyalar uchun haqiqat stol bor:

shunga o'xshash arifmetik usulda ajratish. 1 + 1 = 1: mantiqiy qo'shish operatsiya faqat bir cheklash bor. Lekin biz bir raqamli formatda matematik mantiq 0 va 1 cheklangan ekanini unutmang (bu yerda 1 - haqiqat, 0 - yolg'on). Misol uchun, «Agar bir asaringizning ko'rish yoki yaxshi kompaniya topish mumkin muzeyida" bayonot Agar san'at asarlarini ko'rish mumkin, nima, degan ma'noni anglatadi, va bu qiziq odamni uchratish mumkin emas. Shu bilan birga, har ikki voqealar bir vaqtning o'zida bajarilishi mumkinligini istisno emas.

Vazifalari va qonunlar

Shunday qilib, biz allaqachon mantiqiy operatsiya Boolean algebra foydalanib nima bilamiz. Vazifalari matematik mantiq elementlari barcha xususiyatlarini tasvirlab, va bizga murakkab aralashma bayonotlar soddalashtirish imkonini beradi. eng aniq va oddiy hosilalari operatsiyalari rad mulkini ko'rinadi. Lotin XOR, ta'sir va ekvivalentligi tushuniladi. Biz faqat asosiy operatsiyalari bilan o'qib, keyin mulk ham bor, faqat ularni ko'rib.

Birlashish kabi jadvaldagi "A va B, va operanddan B» natija listing ikkala muhim emas, degan ma'noni anglatadi. quyidagicha formula yozilgan:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Ko'rib turganingizdek, bu birgalikda lekin bir bo'linish uchun yagona emas.

Commutativity birgalikda yoki ajratish natijasida band boshida ko'rib chiqildi qaysi bog'liq emas, deb bahs yuritadi:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity murakkab mantiqiy ifodalarda tirsakdan oshkor beradi. Qoidalari algebra ko'paytirish va qo'shimcha ravishda Qavslar o'xshash:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Birligi xususiyatlari va operanddan biri ham nol yoki bir, bir birlik qo'shilishi bilan algebraik ayirish o'xshash bo'lishi mumkin skretch:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency ishga nisbatan ikki teng ishlov berilguniga natija bir xil bo'ladi, agar, sizga ortiq murakkab fikr operandler "tashlab" mumkin, deb aytilgan. Va bog'lovchi va ajratish operatsiyalari idempotent bo'ladi.

B∧B = B; B∨B = B.

Olish, shuningdek, AQSh tenglamani soddalashtirish imkonini beradi. Singdirish ifoda bir operand qachon qo'llaniladi, natija operand shu element bilan boshqa operatsiya ishlashini yutish, deb aytilgan.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

operatsiyalar natija

operatsiyalar natija muhim ahamiyat kasb etadi. Aslida, algebra kelsak, Boolean algebra foydalanadi ustuvor vazifasi bor. Formulalar operatsiyalari ahamiyatiga faqat mavzu soddalashtirilgan mumkin. ozgina uchun eng muhim Tartib, biz quyidagi ketma-ketlikni olish:

1. rad.

2. kullanın.Birlikte.

3. bo'lish, XOR.

4. ma'no, ekvivalentligi.

Agar birgalikda, faqat rad ko'rish mumkin va teng ustuvor yo'q, deb. bo'lish va XOR bir ustuvor teng, shuningdek, shama va ekvivalent ustuvor bo'ladi.

Taklif va ekvivalent vazifalari

Biz aytgan kabi, asosiy mantiqiy operatsiyalar, matematik mantiq va lotin vositalari algoritmlar nazariyasi tashqari. Bu eng tez-tez ma'no va ekvivalentligi bo'lgan.

ma'no yoki mantiqiy xulosa - bir harakat bir holat bo'lgan, bu bayonot, va boshqa - uning ijrosi natijasidir. Boshqa so'zlar bilan aytganda, "keyin ... agar" bahonasida bilan bu taklif. "Kechki keyin hisob keladi." Haydash uchun E. chana tepalik ustida kuchaytirdilar kerak. Tog'dan pastga harakat, keyin qizni sudrab uchun hech qanday orzu bor bo'lsa shart emas. shunday yozilgan: A → B yoki A⇒B.

Ekvivalentligi aniq ta'sir ikkala ishlov berilguniga rost faqat sodir ekanini anglatadi. Quyosh ufqqa ustida ko'tariladi Misol uchun, kecha, (faqat keyin va) undan keyin kun yo'l beradi. Bu bayonot matematik mantiq tilida A≡B, A⇔B, A == B kabi yoziladi

Boolean algebra boshqa qonunlar

Algebra hukm rivojlanadi, va ko'plab manfaatdor olimlar yangi qonunlarni shakllantirish uchun. hisoblanadi eng mashhur shotland matematigi O. De Morgan postulat. U sezib va yaqin lafzidan Bundan tashqari, er-xotin va salbiy kabi xususiyatlari bir ta'rifini berdi.

Yopish rad qavs oldin hech inkor, deb taklif qiladi: yo'q (A yoki B) = emas A yoki B EMAS

obyekti rad bo'lsa, qat'i nazar, uning qiymati, qo'shimcha haqida aytish:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Va nihoyat, ikki tonish o'zi bartaraf etadi. ya'ni yo obyekti tonish yo'qoladi yoki faqat biri bo'lib qolmoqda oldin.

test hal qanday

Mantiq soddalashtirish oldindan belgilangan tenglamalarni nazarda tutadi. Faqat Lie algebra, u maksimal (ular bilan murakkab kiritish operatsiyalari xalos, va uchun) birinchi shartni osonlashtirish uchun zarur bo'lgan kabi, keyin bir to'g'ri javob izlab boshlash.

Nima soddalashtirish uchun nima qilish kerak? oddiy operatsiya, barcha sanab chiqing aylantirish. So'ngra (bu element kamaytirish uchun tirsakdan qilish, aksincha yoki) Barcha tirsakdan olmoq. Keyingi qadam Boolean amalda algebra xususiyatlarini foydalanish uchun bo'lishi kerak (yutilish xususiyatlari nol va bir va t.).

Oxir oqibatda, tenglama oddiy operatsiyalar bilan birga Noma'lum minimal qator iborat bo'lishi kerak. Agar yaqin salbiy, bir qator qilish, eng oson yo'li, bir yechim izlab. So'ngra javob o'zidan xuddi ochiladi.