Fourier seriyali: ilm-fan rivojlanishi uchun tarix va matematik mexanizmi ta'siri

Fourier ketma-ket - bu view o'zboshimchalik bilan ketma-ket davriga vazifalarni tanlab. Umuman, bu yechim bir tik asosida kengaytirish elementi deb ataladi. Fourier ketma-ket funktsiyalarini kengaytirish turli integratsiya, farqliliklar o'zgartirish xususiyatlari tufayli muammolar, shuningdek, argument so'z va kıvrımdan bir Shift hal qilish uchun juda kuchli vosita.

oliy matematika bilan tanish, shuningdek, frantsuz olimi Fourier asarlari bilan emas, bir kishi, eng ehtimol nima "safiga" va nima ular qilayotgan tushunish olmaydi. Biroq, bu o'zgartirish juda mustahkam hayotimizni kiriladi. Bu faqat matematika, balki fiziklar, kimyogar, shifokorlar, astronomlar, seysmologlar, oceanographers va boshqalarni emas ishlatiladi. AQSh, shuningdek, oldinga uning vaqt, kashfiyot qildi buyuk frantsuz olim ijodi bilan yaqindan ko'rib chiqaylik.

odam va Fourier o'zgartirmoq

Fourier seriyali (tahlil va boshqalar bilan birga) usullaridan biridir o'zgartirmoq Fourier. Bu jarayonning sodir bir kishi biron-bir ovoz eshitadi, har vaqt talab etadi. Bizning quloq avtomatik ravishda o'zgartiradi ovoz to'lqin. elastik muhitda elementar zarrachalar tebranish harakati turli balandliklarda tonna ketma-ket (spektr) keyingi hajmi qiymatlarining kengaytirildi. Keyingi, miya, biz uchun tanish, bu ma'lumotlarni o'zgartiradi. Barcha bu bizning istak yoki ong o'zi tashqari, lekin oliy matematika o'rganish uchun bir necha yil kerak jarayonlari tushunish uchun.

Fourier konvertatsiya qilish haqida qo'shimcha ma'lumot bering

Fourier raqamlari va boshqa usullar, tahliliy amalga oshirilishi mumkin aylantirmoq. quyosh ko'chadan (va boshqa astronomik ob'ektlarni) faoliyati uchun yorug'lik okean yil fasllari va to'lqinlar - Fourier qator har qanday tebranish jarayonlari chirishi uchun raqam jarayoni bo'ladi. Bu matematik metodlarni foydalanib, aksincha maksimal, minimal borish va sinusoidal komponentlarini bir qator har qanday tebranish jarayonlari vakili, vazifasini qismlarga ajratish mumkin. Fourier konvertatsiya qilish, muayyan bir chastotaga mos sinüzoidler o'zgarishlar va amplitüdünü tushuntirib, bir funksiyasi. Bu jarayon issiqlik, yorug'lik va elektr energiyasi ta'siri ostida yuzaga kelgan dinamik jarayonlarni tasvirlash juda murakkab tenglamalarni echish uchun foydalanish mumkin. Shuningdek, Fourier qator to'g'ri tibbiyot, kimyo va astronomiya eksperimental kuzatuvlarini talqin qilish mumkin qilish, murakkab to'lqin shahar komponentlarini ajratish uchun ishlatiladi.

tarixiy ma'lumotlar

Bu nazariya asoschilari otasi frantsuz matematigi Chjan Batist Zhozef Fure hisoblanadi. Uning ismi keyinchalik, bu o'zgartirish deb ataladi. Qattiq jismlarning issiqlik tarqalishini - Dastlab, olimlar o'rganish va issiqlik o'tkazuvchanlik mexanizmlarini tushuntirish uchun bir ibora ishlatiladi. Fourier issiqlik to'lqin boshlang'ich, og'riqqa taqsimlash uning harorati minimal va maksimal, shuningdek, uning bosqichi bo'ladi, har biri oddiy sinusoid, ichiga chirigan mumkin, deb taklif qildi. Shunday qilib, har bir bunday komponenti maksimal va aksincha uchun minimal o'lchanadi kerak. Fourier deb nomlangan egri yuqori va pastki cho'qqilarini ta'riflaydi matematik funksiya, shuningdek, har bir monand bosqichi, so'z harorat taqsimlash aylantirmoq. matematik ta'rifi qiyin tushgan umumiy tarqatish funktsiyasi nazariyasi muallifi, juda oson, bir qator idora qilish davriy vazifalarini boshlang'ich taqsimlash berib miqdorida sinüsü va kosinüsü.

konvertatsiya tamoyili va zamondoshlari qarashlari

olim zamondoshlari - erta o'n to'qqizinchi asrning etakchi matematiklari - bu nazariyani qabul qilmadi. Asosiy e'tiroz u uzluksiz bo'lgan sinusoidal so'zlar yig'indisi sifatida tasvirlaydi mumkin, bir to'g'ri chiziq yoki egri tasvirlab lahzalik funktsiyasi yirtilgan Fourier tasdiqlash edi. Misol sifatida, bir "qadam" Heaviside ko'rib: uning qiymati teshikka chap nol va o'ngdagi biridir. Ushbu funktsiya yopish zanjirga vaqti o'zgaruvchilar elektr toki bog'liqligini ifodalaydi. Zamonaviy nazariyasi, o'sha paytda, bir lahzalik, ifoda, masalan, ko'rsatkichli, sinus, chiziqli yoki kvadrat sifatida uzluksiz, umumiy vazifalari, kombinatsiyasi orqali tasvirlangan edi bunday vaziyat duch hech qachon.

Fourier nazariyasi fransuz matematiklari nima bezovta?

bir matematik bahslasha to'g'ri bo'lsa Axir, keyin, cheksiz trigonometrik Fourier qator Yani, u shunga o'xshash choralar majmui bo'lsa ham, so'z qadam bir aniq tasavvurga olish mumkin. erta o'n to'qqizinchi asrda, bu bayonot bema'ni ko'rinardi. Lekin barcha shubhalar qaramay, ko'plab matematiklar issiqlik o'tkazuvchanlik tadqiqotlar tashqarida uni harakat, bu hodisaga o'rganish doirasini kengaytirdi. Biroq, eng olimlar savol azob davom etdi: "? Can sinus to'lqin qator yig'indisi bir lahzalik funktsiyasi aniq qiymatiga yakınsar"

Fourier seriyasining Yakınsama: misol

yakınsama masalasi siz raqamlar cheksiz qator berilishi kerak, har doim ko'tariladi. Bu hodisaning tushunish uchun klassik misol ko'rib. Har bir qadam yarim oldingi bo'lsa siz hech, devorni erishish mumkinmi? Agar maqsad ikki metr, deylik, yaqin yarim yo'l atrofida birinchi qadam, keyingi - uch chorak belgisi va beshinchi so'ng, yo'lning deyarli 97 foizi bartaraf qiladi. Biroq, qat'i nazar, siz amalga ayting qancha qadamlar ham, siz qattiq matematik ma'noda yetib mo'ljallangan maqsadli. raqamli hisoblar yordamida, biz o'zboshimchalik bilan kichik berilgan masofaga yaqin bo'lishi mumkin oxirida, deb isbotlash mumkin. Bu shuning uchun bir yarmida, bir to'rtinchi va umumiy qiymati. E. birlikka istagi, bu namoyish hujjat tengdir.

Lord kelvin ikkinchi kelishidan yoki hujjat: Yakınsaklık masala

Fourier qator yil fasllari jadalligini bashorat qilish foydalanishga harakat qildik qachon qayta-qayta savol, o'n to'qqizinchi asrning oxirida paydo. O'sha paytda, Lord Kelvin qurilma dengizchilar Navy va savdogar dengiz monitor tabiiy fenomen bo'lib berdi analog kompyuter ixtiro qilindi. bosqichlarida va yil fasllari va tegishli vaqt daqiqalarini stol balandligi amplitüdlerinin Bu mexanizm belgilangan, diqqat bilan yil davomida portga o'lchanadi. Har bir parametr sinusoidal butlovchi ifoda to'lqin balandliklar va muntazam komponentlari biri edi. o'lchash natijalari quyidagi yil funktsiyasi sifatida suv balandligi bashorat egri sintez, hisoblash qurilmasiga Lord Kelvin Kirish bo'ladi. Juda tez orada bu chiziqlar dunyoning barcha bandargohlar uchun tuzilgan edi.

Va jarayon bir lahzalik vazifasini singan bo'ladi, agar?

O'sha paytda, bu hisob juda ko'p elementlar bilan to'lqinida, taxmin qurilma bosqichlarida va amplitüdlerinin katta sonini hisoblash, va shuning uchun ko'proq to'g'ri tasavvur berishi mumkin, deb ochiq-oydin tuyulardi. Shunday bo'lsa-da, bu namuna sintez qilinadi, yil fasllari ifoda, ya'ni, bir lahzalik, bir o'tkir O'tish mavjud hollarda kuzatilgan emas ekan. apparat vaqt nuqtalari bir jadvalda ma'lumotlarni kiritish uchun bo'lsa, u bir necha Fourier koeffitsiyentlarini hisoblaydi. tufayli (topilgan koeffitsientli muvofiq) sinusoidal komponent asl vazifasini ozod qilish. original va rekonstruktsiya ifoda o'rtasidagi farq har qanday nuqtada o'lchanishi mumkin. takrorlash hisoblar va taqqoslashlar ko'rish mumkin bo'lsa, eng katta xato qiymati kamayadi emas. Biroq, ular yorilishi nuqtasiga mos viloyatida mahalliylashtirilgan etiladi, va har qanday boshqa nuqta nolga moyil. 1899-yilda, bu natija Yel universitetining nazariy Joshua Willard Gibbs tasdiqlandi.

Fourier seriyasining yaqinlashuvi va bir butun sifatida matematika rivojlanishi

Fourier tahlil ma'lum oralig'ida portlashlarning cheksiz raqamini o'z ichiga olgan so'zlar tegishli emas. original vazifasi haqiqiy jismoniy o'lchovlar natijasida vakili bo'lsa umumiy Fourier ketma-ket, har doim birlashadi. vazifalarini muayyan sinflar uchun bu jarayon yaqinlik Savollar kabi umumiy vazifalari nazariyasi sifatida matematika yangi tarmoqlari, olib keldi. Bu, masalan, Shvarts, J .. Mikusiński va J. uyi kabi nomlari bilan bog'liq. Bu nazariyaga binoan, bunday ifoda uchun aniq va ravshan nazariy asoslari Dirac delta funktsiyasi (u nuqtasi, abadiy mahallada jamlangan yagona maydon viloyati, ta'riflaydi) va "qadam" Heaviside sifatida tashkil etildi. nuqta zaryad, nuqta ommaviy, magnit dipol va xavodagi konsentrlangan yuk: bu ish orqali Fourier qator intuitiv tushunchalar jalb tenglamalar va muammolarni hal etish uchun qo'llaniladigan bo'ldi.

Fourier usuli

Fourier seriyali aralashmaslik tamoyillariga muvofiq, oddiy kirib murakkab shakllarini parchalanish bilan boshlanadi. Misol uchun, tufayli er yuzasiga tartibsizlik shakl moddiy izolyatsiyalash yoki o'zgartirish issiqlik turli to'siqlarni orqali o'tish uchun issiqlik oqimini bir o'zgarish - zilzila, samoviy tananing orbitasida bir o'zgarish - sayyoralar ta'sirida. Odatda, oddiy klassik tizimi boshlang'ich tasvirlab bu tenglamalar har bir to'lqin uzunligi uchun hal. Fourier oddiy yechimlari yanada murakkab vazifalar uchun, deb ifodalasa bo'ladi, deb ko'rsatdi. matematika tilida, Fourier ketma-ket - kosinüsü va sinus to'lqinlar - muvofiqlik ifodasi summasi taqdim uchun metodologiyasi. Shuning uchun, bu tahlil, shuningdek, nomi "muvofiqlik tahlili" nomi ostida tanilgan.

Fourier ketma-ket - "kompyuter yoshi" uchun ideal usuli

kompyuter texnologiyasi Fourier usuli yaratish oldin bizning dunyo to'lqin tabiati bilan ishlash olimlarning Arsenal eng yaxshi qurol. murakkab shaklida Fourier seriyali mexanikasi Nyuton qonunlari ariza yo'naltiradi javobgar bo'lgan oddiy muammolarni, balki asosiy Tenglama hal nafaqat beradi. O'n to'qqizinchi asrning Newton fan kashfiyotlari eng faqat tufayli Fourier usuli imkoni bo'ldi.

Fourier qator bugun

Fourier rivojlanishi bilan kompyuterlar yangi bosqichga ko'tarildi aylantirmoq. Bu metod qat'iy ilm-fan va texnologiya deyarli barcha sohalarda o'rnashib etiladi. Misol, raqamli audio va video kabi. Uning amalga oshirilishi erta o'n to'qqizinchi asrning frantsuz matematigi tomonidan ishlab chiqilgan nazariyasi mumkin faqat shukr qilib kelmoqda. Shunday qilib, murakkab shaklida Fourier qator tashqi makon o'rganish bir engib imkonini berdi. Bundan tashqari, u yarimo'tkazgich materiallar va plazma, mikroto'lqinli akustika, okeanografiya, radar, seysmologiya fizika o'rganish ta'sir qildi.

Azob Fourier qator

Matematikada bir Fourier qator oddiy yig'indisi sifatida o'zboshimchalik murakkab vazifalarni ifodalovchi bir yo'ldir. umumiy hollarda, so'zlar soni cheksiz bo'lishi mumkin. hisob-kitob sanab katta soni, yanada aniq yakuniy natija olinadi. oddiy trigonometrik kosinüsü yoki sinus funktsiyasi eng keng tarqalgan foydalanish. Bu holda, Fourier qator trigonometrik deb ataladi va bunday so'zlar qarori - muvofiqlik parchalanish. Bu usul matematika muhim ahamiyat kasb etadi. Avvalo, trigonometrik qator tasvir uchun bir vasila, shuningdek vazifalarini o'rganish beradi, u nazariyasi asosiy birligi hisoblanadi. Bundan tashqari, u matematik fizika muammolari bir qator hal qilish uchun bizga imkon beradi. Nihoyat, bu nazariya rivojiga hissa qo'shdi matematik analiz, u matematik fan (integral nazariyasi, davriy funksiyalar nazariyasi) juda muhim tarmoqlarini bir qator sabab bo'ldi. Bundan tashqari, quyidagi rivojlantirish uchun boshlang'ich nuqtasi nazariyalar: silsilasini, haqiqiy o'zgaruvchining, vazifalari funktsional tahlil qilish, shuningdek, va garmonik tahlil qilish uchun asos.