Ehtimollik nazariyasi asosiy tushunchalar. ehtimollik nazariyasi qonunlari

Ko'p odamlar, "ehtimollik nazariyasi" tushunchasiga duch kelganda, u narsa chidab bo'lmas, juda qiyin deb o'ylab, qo'rqib. Lekin aslida shunday fojiali emas. Bugun biz aniq misollar orqali muammolarni hal qilish o'rganish, ehtimollik nazariyasi asosiy tushunchalar qarash.

fan

Qanday "ehtimollik nazariyasi" deb matematika filialini o'rganish bo'ladi? Bu naqsh qayd tasodifiy hodisalar va o'zgaruvchilar. qimor o'rganib birinchi marta XVIII asrda manfaatdor Olimlar masalasi uchun. ehtimollik nazariyasi asosiy tushunchalar - voqea. Bu tajriba va kuzatish natijasida belgilangan har qanday haqiqatdir. Lekin tajriba nima? Ehtimollar nazariyasining yana bir asosiy tushunchasi. Bu holatlar bu qismi tasodifan yaratilgan emas, degan ma'noni anglatadi, va bir maqsad bilan. nazorat qilish bilan bog'liq, o'zi tajriba ishtirok etmaydi tadqiqotchisi bor, lekin oddiygina, bu voqealar bir guvoh, u nima bo'layotganini hech qanday ta'siri bor.

Tadbirlar

Tadbir, lekin tasnifi hisobga olmadi - Biz ehtimollik nazariyasi asosiy tushuncha deb bilib. Ularning barchasi quyidagi toifalarga bo'linadi:

• Ishonchli.
• Mumkin emas.
• Tasodifiy.

Qat'i nazar, voqea tomosha yoki eksperiment jarayonida yaratilmoqda qaysi, nima, ular bu tasnifi ta'sir etiladi. Biz alohida-alohida uchrashuvlar har turini taklif etamiz.

muayyan voqea

Bu tadbirlar zarur majmuini qilish uchun bir haqiqatdir. yaxshi mohiyatini tushunish uchun, u bir necha misollar berish yaxshiroqdir. Bu qonun va fizika, kimyo, iqtisodiyot va oliy matematika bo'ysunadi. Ehtimollar nazariyasi muhim voqea kabi muhim tushunchani o'z ichiga oladi. Mana, bir necha misol:

• Biz ish va ish haqi shaklida haq olish.
• Xo'sh, sinovlarga u ta'lim muassasasi qabul qilish shaklida haq olish uchun tanlov o'tdi.
• Biz kerak bo'lsa, ularni qaytarib olish, bankda pul sarmoya kiritgan.

Bunday tadbirlar to'g'ridir. Biz barcha zarur shart-sharoit bajo bo'lsangiz, kutilgan natijaga erishish uchun ishonch hosil qiling.

imkonsiz tadbir

Endi biz ehtimollik nazariyasi elementlarini ko'rib. ya'ni imkonsiz - Biz voqealar quyidagi turlari bo'yicha tushuntirish borishni taklif etamiz. boshlash uchun eng muhim qoida nazarda tutilishi - imkonsiz bir voqea ehtimoli nol bo'ladi.

Formulada muammolarni hal derogated mumkin emas. Bunday tadbirlar misollar Misol uchun,

• Suv bir harorat plyus o'n (bu mumkin emas) da qaytarilur.
• ishlab chiqarish ta'sir qilmaydi elektr yo'qligi (oldingi misol kabi imkonsiz).

Ushbu turkumda mohiyatini aks juda aniq yuqorida aytilgandek, berilgan Batafsil misol, zarur emas. Impossible voqea hech qachon har qanday sharoitda eksperiment davomida sodir bo'ladi.

Tasodifiy hodisalar

ehtimollik nazariyasi elementlarini o'rganish, alohida e'tibor tadbir bu turi qaratish lozim. Bu, bu fanni o'rganish kishilardir. sodir yoki mumkin emas narsa tajribasi natijasida. Bundan tashqari, sinov marta cheksiz amalga oshirilishi mumkin. E'tiborga loyiq misollar o'z ichiga oladi:

• tangani chayqala - bu voqea - bu tajriba, yoki test, bir burgutning ziyondir.
• ko'r-ko'rona sumkasidan to'pni tortib - shuning uchun bu voqea va - sinov, qizil to'p ushlandi.

Bunday misollar, umuman, tushunish kerak bo'ladi, cheklanmagan soni bo'lishi mumkin, lekin. umumlashtirish va bir stol voqealari haqida orttirgan bilim tizimlashtirish. Ehtimollar nazariyasi tadqiqotlar barcha taqdim faqat ikkinchi tur.

qonunlar

Ehtimollar nazariyasi - biron-bir voqea yo'qotish ehtimoli o'rganadi fan. boshqalar kabi, u ba'zi qoidalar bor. ehtimollik nazariyasi quyidagi qonunlar:

• tasodifiy o'zgaruvchilar ketliklar yaqinlashuvi.
• Katta sonlar qonuni.

Majmuaning ehtimoli hisoblash qachon yo'l natijalar oson va tez erishish uchun murakkab oddiy hodisalarni foydalanish mumkin. Bu ehtimollik nazariyasi qonunlari osonlik teoremalari ba'zi yordamida isbotlash mumkin, deb ta'kidlash lozim. Biz birinchi qonun bilan tanishish boshlash uchun taklif.

Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi yaqinlashuvi

bir necha turdagi yaqinlash- unutmang:

• Tasodifiy o'zgaruvchilar tartibi ehtimoli konvergentsiya.
• Deyarli imkonsiz.
• RMS yakınsaklık.
• tarqatish konvergentsiya.

Shunday qilib, chivin, u mohiyatini tushunish juda qiyin. Bu yerda mavzuni tushunish uchun yordam beradi ta'riflar mavjud. Birinchi qarashda bilan boshlash uchun. n abadiy yondashuvlar, ketma-ketlikda tomonidan qidirilayotgan soni noldan katta va birligiga yaqin: Quyidagi Ahvoli agar natija, ehtimol yakınsama deyiladi.

deyarli albatta, keyingi ko'rinishiga o'ting. Ular natija n tugamas boqib, va R, birlikka yaqin bir qiymatiga boqib bilan tasodifiy deyarli albatta yakınsar, deb aytish.

Keyingi turi - RMS bir yaqinlashuvi. vektor tasodifiy jarayonlar SC-o'rganish yakınsaması foydalanganda muvofiqlashtirish tasodifiy jarayonlar o'rganishga kamaytiradi.

O'tgan turi ning qisqacha nazar va muammolarni hal qilish uchun to'g'ridan-to'g'ri borish uchun ruxsat bor edi. tarqatish konvergentsiya boshqa ismi bor - "zaif", keyin nima. Zaif yaqinlik - chegara tarqatish vazifasi doimiyligi barcha nuqtalarda tarqatish vazifalari yaqinlashuvi hisoblanadi.

va'dasini bajarishiga ishonch hosil qiling: tasodifiy o'zgaruvchilar ehtimoli makonida belgilangan emas zaif yaqinlik avvalambor farq qiladi. Ahvoli faqat tarqatish funktsiyalari yordamida hosil bo'ladi, chunki, bu mumkin emas.

Katta sonlar qonuni

qonun isboti Buyuk yordamchi kabi ehtimollik nazariyasi teoremalar, bo'ladi:

• Chebyshev farq.
• Chebyshev ning teorema.
• Umumiy Chebyshev teorema.
• Markov teorema.

Biz bu barcha teoremalar ko'rib bo'lsa, keyin masala jadvallari bir necha o'nlab olishi mumkin. amalda ehtimollik nazariyasi dasturi - Biz asosiy vazifasi bor. Biz hozir sizlarga taqdim etamiz va buni. Biz ehtimollik nazariyasi o'zgarish ko'rib avval Lekin, ular muammolarini hal asosiy hamkorlari hisoblanadi.

aksiyomları

imkonsiz voqea haqida gapirar ekan, birinchi kelgan, biz allaqachon ko'rdik. ning eslaylik: bir imkonsiz Tadbir ehtimoli nol bo'ladi. Misol biz juda yorqin va unutilmas berdi: qor havo harorati o'ttiz daraja Selsiy yiqildi.

quyidagicha ikkinchi: ma'lum bir voqea ehtimoli birdamlik bilan sodir bo'ladi. P (B) = 1: Endi biz bu matematik tilda yordami bilan yozilgan qanday ko'rsataman.

Uchinchi: Agar tasodifiy hodisa ro'y yoki yo'q, lekin ehtimoli har doim bo'ladi noldan biriga farq qilishi mumkin. yaqinroq u birdamlik, ko'proq imkoniyat hisoblanadi; qiymati nolga yaqin bo'lsa, ehtimol juda past bo'ladi. Biz matematik tilida bu yozish: 0

oxirgi to'rtinchi aksiyalar ko'rib chiqaylik, ya'ni: ikki voqealar ehtimoli yig'indisi ularning ehtimollar summasiga teng bo'ladi. matematik shartlarini yozing: P (A + B) = P (A) + P (B).

ehtimollik nazariyasi o'zgarish - u eslash qiyin bo'lmaydi oddiy qoida hisoblanadi. ning allaqachon bilim asoslangan ba'zi muammolarni hal qilishga harakat qilaylik.

lotereya chipta

lotereya - Birinchidan, oddiy misolni ko'rib. Agar yaxshi omad uchun lotereya chiptasini sotib olganini tasavvur qiling. Agar kamida yigirma rubl yutib oladi ehtimoli qanday? besh - umumiy adadi besh yuz rubl, o'n yuz rubl, yigirma va ellik rubl, bir yuz bir mukofoti ham bor biri ming chipta, ishtirok etadi. Ehtimollar nazariyasi vazifasi omad uchun yo'l topishga qanday asoslangan. Endi birga biz vazifalari nuqtai yuqorida qaror tahlil.

Biz besh yuz rubl mukofot bilan bildirmoq bo'lsa, ehtimoli 0,001 ga teng. Biz qanday qilib olsam bo'ladi? Faqat (: 1/1000 bu holda) umumiy soniga bo'linadi "omadli" chiptalar sonini kerak.

In - bir yuz rubl bir foyda, ehtimollik 0.01 teng bo'ladi. Endi biz o'tgan harakatlar bir xil tarzda harakat qilgan (10/1000)

C - to'lov yigirma rublni tashkil etadi. ehtimollik topish, u 0,05 ga teng bo'ladi.

ularning mukofot puli sifatida, biz chiqyapti chipta qolgan, holatda belgilangan nisbatan kamroq bo'ladi. to'rtinchi aksiyalar Qo'llash: kamida yigirma rubl g'olib ehtimoli P (A) + P (B) bo'ladi + P (C). R harfi Tadbir kelib chiqishi ehtimolini bildiradi, oldingi qadamda biz allaqachon ularni topdik. Bu, biz 0.061 olish javob zarur ma'lumotlarni yotib faqat qolmoqda. Bu raqam ish o'rinlari savolga javob bo'ladi.

Qarta dastasini

ehtimollik nazariyasi muammo, masalan, keyingi ish olib, shuningdek, ancha murakkab bor. o'ttiz olti kartalarning pastki oldin. Sizning vazifangiz - uyum aralashtirish holda, ketma-ket ikki kartalari chizish, birinchi va ikkinchi kartochkalar Aces bo'lishi kerak, kostyumlar muhim emas.

birinchi karta bir ace bo'lgan ehtimollik, to'rt o'ttiz olti tomonidan bu bo'linish topish, boshlash uchun. uni bir chetga surib qo'ying. Biz ikkinchi karta uch yuz o'ttiz beshinchi ehtimoli bilan ace olish. Ikkinchi voqea ehtimoli u ace edi yoki yo'q, biz manfaatdormiz, qaysi karta biz birinchi tortdi bog'liq. Bundan tadbirda voqea A bog'liq, deb quyidagicha

Biz bir vaqtning o'zida amalga oshirish ehtimoli topish keyingi qadam, ya'ni, quyidagi Ularning ish A va B ko'paytirib: boshqa shartli ehtimollik ko'paytiriladi bir voqea ehtimoli, biz, ya'ni, birinchi voqea sodir bo'ldi deb faraz, hisoblash, birinchi karta, biz bir Ace tortdi.

Barcha aniq bo'lish uchun, deb ko'rsatish kabi elementi berishi shartli ehtimoli Tadbir. Bu A sodir bo'lgan voqea faraz yo'li bilan hisoblanadi. quyidagicha Bu hisoblanadi: P (B / A).

P (A _* B) = P (A) _* R (B / A) yoki R (A _* B) = P (B) _* R (A / B): Biz muammoni hal kengaytirish. .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0,: ehtimollik _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) Yaqin yuzdan uchun yaxlitlash tomonidan hisoblanadi Biz bor 82 = 0,09. ehtimoli biz ketma-ket ikki As tortib to'qqiz salise tengdir. qiymati juda kichik, u voqea yuzaga ehtimoli juda past ekanligini quyidagicha.

unutilgan xona

Biz Ehtimollar nazariyasi o'rganadi ish o'rinlari ba'zi ko'proq imkoniyatlar taklif. Agar siz ushbu maqolada ko'rgan ayting kishilarning ba'zi yechimlari misollar, quyidagi muammoni hal qilishga urinib ko'ring: Bola, uning do'sti oxirgi raqam uchun telefon raqamini unutgan, lekin qo'ng'iroq juda muhim edi, chunki, keyin esa o'z navbatida har bir ko'tarib boshladi. Biz u uch marta ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq deb ehtimolini hisoblash kerak. muammoning oddiy hal, siz ehtimollik nazariyasi qoidalari, qonunlari va o'zgarish bilsangiz.

Agar hal ko'rish oldin, o'z hal qilishga harakat qiling. Biz ikkinchi ko'rsatkich o'n qadriyatlar jami, noldan to'qqiz bo'lishi mumkin, deb bilaman. zarur Ehtimollar hisob 1/10 hisoblanadi.

Keyingi Biz, voqealar kelib chiqishi uchun variantlarni o'ylab bizni bola to'g'ri bildi va huquqini qo'lga kiritdi, deb faraz qilaylik kerak, bunday voqealar ehtimoli 1/10 tengdir. Ikkinchi variant: birinchi qo'ng'iroq slip, va ikkinchi maqsad. 9/10 biz 1/10 sifatida olish oxirida 1/9 ko'paytiriladi: Biz bunday hodisalar ehtimolini hisoblash. Uchinchi variant: u xohlagan qaerda birinchi va ikkinchi chaqiriq noto'g'ri manzil bo'lib chiqdi, faqat uchinchi bola edi. Bunday tadbirlar ehtimoli hisoblash: 9/10 8/9 va 1/8 ko'paytiriladi, biz 1/10 natijasida qo'lga. Keling, bu natijalar yotib uchun biz qiziqish emas muammoning sharti bilan boshqa variantlar, bu oxirida biz bir 3/10 bor, qoladi. Javob: bir bola 0,3 ga teng ko'p, uch marta, qo'ng'iroq qilaman ehtimoli.

raqamlar bilan Cards

sizdan oldin biri to'qqiz qator yozilgan har biri to'qqiz kartochkalar, raqamlar takrorlanadi emas. Ular bir qutiga qo'yish va yaxshilab aralashtiramiz. Siz ehtimolini hisoblash uchun kerak, deb

• ham qator prokat;
• ikki xonali.

m nazarda tutadigan qarori davom ettirishdan oldin - muvaffaqiyatli hollarda soni va n - variantlar umumiy soni. AQSh soni juft ehtimolini topish qilaylik. to'rt, hatto raqamlarini hisoblash qiyin emas, va bu bizning m, barcha to'qqiz mumkin imkoniyatlari, ya'ni, m = 9 bo'ladi. So'ngra ehtimoli 0,44 yoki 4/9 ga teng.

Biz ikkinchi ishni, to'qqiz variantlarining sonini ko'rib, va muvaffaqiyatli natija barcha bo'lishi mumkin emas, deb, m nol bo'ladi. cho'zilgan karta nol sifatida, bir, ikki xonali son o'z ichiga oladi ehtimoli.