Noma'lum integral. noma'lum integral hisoblash

matematik tahlil qilish asosiy bo'limlardan biri integral hisob bo'ladi. u noaniq integral - u birinchi ob'ektlar, juda keng maydonni qamrab oladi. Maktabni hali bir muhim Oliy matematika ta'riflaydi istiqbollari va imkoniyatlari ortib borayotgani, ochib sifatida Position u turibdi.

paydo bo'lish

Birinchi qarashda, bu zamonaviy, topikal butunlay ajralmas ko'rinadi, lekin amalda u qaytib 1800 yilda kelib chiqadi eramizgacha. bizga uning mavjudligi oldingi dalil etib bormadi sifatida Bosh sahifa rasman Misr ko'riladi. Bu tufayli axborot yo'qligi, hamma vaqt bir hodisa, deb oddiygina joylashganda. U yana bir bor o'sha paytlarda xalqlari ilmiy rivojlanish darajasini tasdiqlaydi. Nihoyat, ishlari topilgan , qadimgi yunon matematiklari miloddan avvalgi 4 asrga cho'zilgan,. Ular abadiy ajralmas, mohiyati bir egri chiziqli shakli hajmini yoki maydoni (uch o'lchamli va ikki o'lchamli samolyot, navbati bilan) topishga edi ishlatiladigan usul tasvirlab. hisoblash abadiy komponentlari original arbobi bo'linish tamoyiliga asoslangan, hajmi (maydoni) allaqachon ularga ma'lum sharti. Vaqt o'sdi usuli, Arximed parabola maydoni topish uchun ishlatiladi. bir vaqtning o'zida shunga o'xshash hisob-kitoblar ular Yunon o'rtoq fan butunlay mustaqil edi qadimiy Xitoy, ichida mashqlar o'tkazish.

rivojlantirish

XI asrda keyingi rivoji, Arab olimi ish bo'ldi », vagon" chegaralarini surib Abu Ali al-Basriy, allaqachon ma'lum, bizga ma'lum, bu uchun qo'llash, to'rtinchi birinchi kelgan miqdorda va daraja so'mdan hisoblash uchun muhim formula olingan edi kirish usuli.
Bugungi kunda ongida qadimiy misrliklar o'z qo'llari, deb tashqari, har qanday maxsus uskunalar holda ajoyib yodgorliklarini yaratgan taqdir etilmoqda, lekin kam bo'lmagan vaqt bir mo''jiza bir kuch jinni olimlar emas? hayotlarining hozirgi zamon bilan solishtirganda deyarli ibtidoiy tuyulishi, lekin noaniq integral qarori Hamma joyda istinbot va yanada rivojlantirish uchun amalda qo'llaniladi.

Italiya matematik Cavalieri oldi bo'linmas usuli, olib keldi, keyingi qadam, XVI asrda bo'lib o'tdi boshiga farmon. Bu ikki shaxs vaqtda ma'lum zamonaviy integral hisobning uchun poydevor qo'ydi. Ular ilgari odamovi birliklar sifatida ko'rgan edi farqlash va integratsiya tushunchalarni, bog'lab. Va katta, deb vaqt matematika topilmalar cheklangan foydalanish bilan, o'zlari tomonidan mavjud parcha-parcha zarralar edi. birlashtirish va umumiy til topish uchun yo'l unga rahmat, zamonaviy, ayni paytda faqat haqiqiy edi matematik tahlil o'sadi va rivojlantirish uchun imkoniyat bor edi.

Vaqt o'tishi bilan har bir narsa va integral ramzi shuningdek o'zgartiradi. Va katta, u o'z yo'lida, masalan, Nyuton bir İntegrable vazifasini qo'yish, yoki shunchaki birgalikda qo'yish kvadrat belgisini, ishlatiladigan olimlar tayinlangan edi. Bu tengsizlik matematik tahlil olim Gotfrid Leybnits butun nazariyasi uchun muhim bizga tanish bunday belgi kiritilgan XVII asr qadar davom etdi. Cho'zilgan "S" aslida bu xat asoslangan , Rim alifbo ibtidoiy summasini bildiradi beri. integral nomi 15 yil keyin, Jakob Bernoulli tufayli olingan.

rasmiy izoh

noma'lum ajralmas ibtidoiy aniqlash bog'liq, shuning uchun biz birinchi navbatda, uni ko'rib.

Antiderivative - bu ibtidoiy deb ataladi amalda lotin teskari funksiyasi hisoblanadi. Aks holda: d ibtidoiy vazifasi - lotin v <=> V = V bo'lgan bir vazifani D, deb. ibtidoiy Qidiruv noma'lum integral hisoblash uchun, va jarayon o'zi integratsiya deyiladi.

misol:

vazifasini (y) = y ^3, va uning ibtidoiy S (y) = (y ^4/4).

funktsiya barcha ibtidoiy majmui - Bu noma'lum ajralmas bo'lib, uni belgilangan: ∫v (x) dx.

V (x) deb aslida tufayli - faqat ayrim ibtidoiy original funksiyasi bor, ifoda ushlab: ∫v (x) dx = V (x) + C, C - doimiy. lotin nol bo'lgani o'zboshimchalik konstantasini ostida, har qanday doimiy anglatadi.

xususiyatlari

noma'lum integral ega xususiyatlari, aslida belgilash va lotin xususiyatlari asosida.
asosiy nuqtalarini ko'rib chiqaylik:

• ibtidoiy ajralmas hosila o'zi plus tasodifiy doimiy C <=> ∫V ibtidoiy »(x) dx = V (x) + C;
• Vazifaga integral hosila <=> (∫v (x) dx) "original funksiyasi = v (x);
• doimiy ajralmas belgisi <=> ∫kv (x) ostidan chiqib olinadi dx = k∫v (x) k DX, - o'zboshimchalik hisoblanadi;
• integral yig'indisi <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy uchun bir xil teng yig'indisi olinadi, qaysi ajralmas.

So'nggi ikki xususiyatlari noaniq integral chiziqli, deb xulosa qilish mumkin. Shuning uchun, biz bor: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

echimlar noaniq integral ekranga misollar ko'rish uchun.

Siz integral ∫ (3sinx + 4cosx) DX topish kerak:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + S

Masalan biz sizga noaniq integral hal qilish uchun qanday bilmayman, deb xulosa mumkin? Faqat barcha ibtidoiy topish! Lekin tamoyillari qidirish quyida muhokama qilindi.

Usullari va misollar

ajralmas hal qilish maqsadida, quyidagi usullari murojaat qilishingiz mumkin:

• stol foyda olish uchun tayyor;
• buyumlar bilan integratsiya;
• o'zgaruvchini almashtirish orqali integratsiya;
• differensial belgisi ostida sarhisob.

jadvallar

eng oddiy va yoqimli yo'l. Ayni paytda, matematik tahlil noma'lum integral asosiy formulasini amalga yozilganligiga juda keng jadvallarni, faxrlanishi mumkin. Boshqa so'zlar bilan aytganda, sizga olingan andozalar bor va faqat ulardan foyda olish mumkin. Bu yerda deyarli har bir misoli ko'rsatilishi mumkin Asosiy stol postlar, ro'yxati, bir yechim bor:

• ∫0dy = C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫dy = y + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, qaerda C - doimiy va n - birlik farq raqami;
• ∫ (1 / y) dy = Lev Nikolaevich | y | + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ^{∫e y dy = e y + C} , qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ^{∫k y dy = (k y /} Lev Nikolaevich k) + C, C - Ruxsat etilgan;
• ∫cosydy = siny + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫sinydy = -cosy + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, qaerda C - Ruxsat etilgan;
• ∫chydy = uyatchan + C, C - Ruxsat etilgan;
• ∫shydy = Chy + C, C - doimiy.

zarur bo'lsa, bir jadval ko'rinishga qadamning bir er-xotin integrand sabab qilish va g'alaba bahramand. Misol: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 qismini x sin (5x - 2) + S

qaroriga ko'ra u masalan, stol integrand Biz o'zgartirmagan umumiy ifoda qilish 1/5 qismini, ushbu ko'payishi bilan parallel ravishda qo'shishingiz navbatda 5. etishmaydi, deb ochiq-oydin emas.

Parts tomonidan integratsiyasi

z (y) va x (y) - ikki vazifalarini ko'rib chiqaylik. Ular o'z domen doimiy differentiable bo'lishi kerak. Bir farqlash xususiyatlari, biz bor: D (XZ) = xdz + zdx. har ikki tomonga integratsiya, biz olish: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: natijada tenglama qayta yozib olish, biz buyumlar bilan integratsiya usuli bayon formulasini olish.

Nima uchun u kerak? ikkinchisi jadval shaklida yaqin bo'lsa, u soddalashtirish mumkin misollar ayrim, aytaylik, aslida, ∫zdx ∫xdz kamaytirish uchun. Bundan tashqari, bu formula optimal natijalar uchun, bir necha marta foydalanish mumkin.

Qanday noaniq integral, bu yo'l bilan hal qilish uchun:

• ∫ (lar + 1) e ^2S DS hisoblash uchun zarur bo'lgan

∫ (x + ^{1) {z = = e 2S DS} s + , y 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} = 1, DZ = DS = ((S + DS} 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S DX = ((lar + 1) e ^2S) / 2-e ^2S / 4 + C;

• ∫lnsds hisoblash kerak

∫lnsds = {z = LNS, DZ = DS / s, y = s, dy = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -S + C = s (LNS-1) + C.

o'zgaruvchini almashtirish

Noaniq integral hal printsipi murakkab bo'lsa-da, oldingi ikki dan talab kam emas bo'ladi. quyidagicha usul: qilaylik V (x) - ba'zi funktsiyasi v (x) integral. o'z-o'zidan Misol slozhnosochinenny yilda ajralmas keladi taqdirda, turmadi va noto'g'ri yo'l hal pastga borish mumkin. x qarab z saqlab umumiy ifoda ingl soddalashtirilgan bo'lgan z uchun o'zgaruvchan x bu amaliyot o'zgarishlarni, oldini olish uchun.

quyidagicha matematik jihatidan, bu: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y (z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), x = y ( z) - almashtirish. Va, albatta, teskari funktsiya z = y ^-1 (x) to'liq munosabatlarni va o'zgaruvchilar munosabatni ifodalaydi. Muhim eslatma - albatta, yangi differensial DZ bilan almashtirildi differensial DX, noma'lum integralde o'zgaruvchining o'zgarish buyon nafaqat integrand yilda, hamma joyda uni o'zgartirish o'z ichiga oladi.

misol:

• DS - ∫ (lar + 1) / (5 s ² + 2S) topish kerak

almashtirish Z = (lar + 1) Qo'llash / (s ² + 2S-5). So'ngra DZ = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (lar + 1) DS = DZ / 2. Natijada, juda oson quyidagi ifoda, hisoblash:

∫ (lar + 1) / (s ² + 2S-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2S-5 | + C;

• Agar integral ∫2 ^s e ^s DX topish kerak

Quyidagi shaklida yozgan hal qilish:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} 2e) lar DS.

Biz, biz berish (u hali ham bor bu qadam emas argument o'zgartirish) a = 2e tomonidan bildirmoq asosiy jadval shaklida uchun ajralmas o'xshaydi murakkab:

^{∫ (2e) lar DS = ∫a} s DS = a s / LNA + C = (2e) S / Lev Nikolaevich (2e) + C = ^{2-e s} / Lev Nikolaevich (2 + tizmasini oxirgi) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + S

a differensial alomat yasar ekan

Va katta, bu noaniq integral usuli - o'zgaruvchining o'zgarish tamoyilini egizak akasi, lekin ro'yxatga jarayonida farqlar bor. AQSh batafsil ko'rib chiqaylik.

Agar ∫v (x) dx = V (x) + C va y = z (x), so'ngra ∫v (y) dy = V (y) + S

Shu bilan birga, biz arzimas ajralmas o'zgarishlarni orasida unutmaslik kerak:

• DX = D (x + a), va bu erda, - har bir Ruxsat etilgan;
• DX = (1 / a) d (ax + b), qaerda bir - doimiy yana, balki noldan;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

biz noaniq integral hisoblash umumiy ishni ko'rib bo'lsa, misollar (x) dx = dw (x) w umumiy formula ostida toplanamayacaklarını mumkin.

misollar:

• topish kerak ∫ (2S + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2S + 3)

∫ (2S + 3) = 1 / 2∫ (2S + 3) ² D ² DS (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + S

onlayn Yordam

Ba'zi hollarda, aybi bo'lishi mumkin yoki dangasalik yoki ehtiyoj, Agar bir kalkulyator noaniq integral foydalanish, o'rniga onlayn ko'rsatmalarga foydalanish, yoki mumkin. zohiriy murakkabligi va integral munozarali tabiat qaramay, qaror "siz ... keyin, albatta, agar ..." tamoyili asosida ularning o'ziga xos algoritm, bo'ysunadi.

qaror bir sun'iy jarayonida ayrim elementlarini kiritish orqali "majbur" topish kerak bo'lgan holatlar bor, deb natijalar erishish uchun ochiq-oydin yo'llari, chunki Albatta, bunday hisob ayniqsa murakkab misollar, o'zlashtirish bo'lmaydi. Bu bayonot bahsli tabiat qaramay, u matematika, deb, asosan, bir mavhum fan, hamda uning asosiy maqsadi chegaralarini kengaytirish uchun ehtiyoj deb hisoblaydi, haqdir. Albatta, bir tekis Run-yilda nazariya yuqoriga harakat va rivojlanishda, shuning uchun bizga berdi noaniq integral hal misollar, deb o'ylamang juda qiyin - bu imkoniyatlar balandligi. Lekin qaytib narsani texnik tomoniga. hisob tekshirish uchun kamida, siz u bizga yozilgan qaysi xizmatidan foydalanishingiz mumkin. murakkab so'zlar avtomatik hisoblash uchun bir ehtiyoj bor bo'lsa, ular yanada jiddiy dasturiy murojaat qilish shart emas. birinchi navbatda, atrof-muhit Matlab haqida e'tibor kerak.

ariza

Bu samolyot ravshan foydalanish ko'rish qiyin, chunki birinchi qarashda noma'lum integral qarori, haqiqatga butunlay ajratilgan ko'rinadi. Albatta, to'g'ridan-to'g'ri emas, balki har bir joyda, ularni ishlatish, lekin ular amalda foydalanish yechimlari olib chiqish jarayonida zarur oraliq element bor. Shunday qilib, orqaga farqlash integratsiyasi, shunday faol tenglamalarni yechish jarayonida ishtirok.
qisqasi, hozirgi va kelajak shakllantirish tashkil hamma narsani - o'z navbatida, ushbu tenglamalar mexanik muammolar, traektoriyasi hisoblash va issiqlik o'tkazuvchanlik qarori bevosita ta'sir bor. Biz, bir baza sifatida, yuqorida birinchi qarashda faqat arzimas ko'rib qilgan, İntegral misollar ko'proq va ko'proq yangi kashfiyotlar amalga oshirish uchun.