Real raqamlari va ularning xususiyatlari

Pifagor soni yirik elementlar bilan bir qatorga dunyo poydevori ekanligini da'vo. Aflotun, bilish yordam Ishoratlarni hodisa va Kodlayıcı, soni tortilishi kerak va xulosalar chiqarishga ishonardi. raqami, matematika boshlang'ich nuqtasi - arifmetik so'z "arifmos" dan keladi. Boshlang'ich dan olma mavhum joylar - Bu har qanday ob'ekt tasvirlab mumkin.

a rivojlantirish omili sifatida muhtoj

jamiyat taraqqiyotining dastlabki bosqichlarida odamlar ehtiyojlari muhtoj tomonidan majburiy hisobni saqlab qolish uchun - .. va hokazo don, ikki don xalta, biri yostig'i Buning uchun, u, to'siq bo'lgan musbat butun songa N., abadiy natija tabiiy raqamlari hisoblanadi

Keyinchalik, fan sifatida matematika rivojlantirish, bu butun songa Z muayyan sohasida zarur edi - u salbiy qadriyatlar va nolga o'z ichiga oladi. ichki darajasida Uning ko'rinishi, u dastlabki Buxgalteriya qandaydir qarzlarini va yo'qotishlarni tuzatish kerak edi, aslida tomonidan qo'zg'agan edi. ilmiy darajada, salbiy sonlar imkon oddiy hal qildik chiziqli tenglamalar. boshqa narsalar orasida, bu tasvir uchun, endi bir koordinata arzimas tizimi, ya'ni mumkin. A. bir Malumot nuqtasi bor edi.

Keyingi qadam fani hali tura olmaydi, chunki, yana va yana yangi kashfiyotlar, yangi surish o'sishi uchun nazariy asos talab, kasr sonlar kiritishingiz kerak edi. Shunday qilib, bir maydon bor edi ratsional sonlar Q.

barcha yangi topilmalar asos talab chunki Nihoyat, endi, rasyonalitenin talablarini qondirish. real raqamlari R dala, chunki ularning aql dışılık ma'lum miqdorda Evklid taqqoslab bo'lmaydiganlik asarlari bor edi. Ya'ni qadimgi yunon matematik doimiy sifatida emas, balki faqat raqamni joylashganda, lekin umumiy o'lchovi yo'q kattaligi nisbati bilan ifodalanadi bir mavhum qiymati sifatida. Tufayli real sonlar bor ekanligiga, bunday zamonaviy matematika sodir bo'lishi mumkin emas, qaysi holda "Pi" va "e", deb qadriyatlar "Biz nur ko'rdim".

yakuniy yangilik edi bir kompleks sonda Bu bir qator savollar javob berdi va oldindan kiritilgan postulat rad C.. real sonlar bilan, ko'plab muammolar qaror mumkin emas edi - tufayli algebra natijasida jadal rivojlantirish uchun oldindan edi. Misol uchun, murakkab sonlar uchun rahmat torli nazariyasi va gidrodinamikaning betartiblik kengaytirilgan tenglamalarni chiqib turdi.

Nazariyasi o'rnating. Cantor

Bu isbot yoki inkor qilish mumkin emas edi, abadiyat tushunchasi har doim, munozaralarga sabab bo'ldi. qat'iy tasdiqlangan postulat foydalanilishi matematika nuqtai nazardan, u diniy jihati hali ilm-fan tortilib ko'proq, deb, eng aniq o'zini namoyon.

Biroq, matematik Jorj Cantor'un ish orqali har doim joyiga tushdi. U erda cheksiz majmui bo'lib, maydon R maydon N dan katta ekanligini, ularning har ikkalasi ham qilsin va oxiri yo'q cheksiz fotoalbomlarda isbotladi. XIX asrning o'rtalarida, uning g'oyalari ommaviy bema'nilik va klassik doimiy qonunlariga qarshi jinoyat deb nomlangan, lekin vaqt, uning o'rniga har bir narsani kiritamiz.

R asosiy xususiyatlari

Haqiqiy sonlar faqat ular o'z ichiga podmozhestva bir xil xususiyatlarga ega, lekin uning elementlari tufayli boshqa masshabnosti tomonidan to'ldirilsin emas:

• Zero R. mavjud va R. har qanday C maydon C + = c 0 tegishli
• Zero mavjud va R. har qanday C maydon R. S x 0 = 0 tegishli
• nisbati c: d d ≠ 0, R. d mavjud va har qanday C uchun amal qiladi
• Maydon R, buyurtma aytganda, agar c ≤ d, d ≤ c, har bir C uchun, keyin c = d, R. d
• R. R-yilda Kiritilgan kommutativ qilinadi, ya'ni, c + d = d + c, har qanday C, D
• maydon R, ayirish, barcha C, ya'ni, x v x d = d c, R. d kommutativ bo'ladi
• maydon R Kiritilgan R. f (c + d) + f = c + (d + f) har qanday C, D, ya'ni, assotsiativ emas
• maydon R, ayirish assotsiativ ya'ni (c x d) x f = R. f har qanday C, D uchun c x (d x f),
• shunday erda unga maydon R teskari har bir miqdordagi c + (-c) = 0, qaerda R. -c c,
• R har bir sonini uning teskari, mavjud uchun shunday c x v ^-1 = 1 qaerga c, ^-1 c R.
• Birligi mavjud va, R tegishli, shunday qilib, R. har qanday C c x 1 = c,
• Bu Cx shunday (d + f), elektr qonun taqsimlash ega R. f, har qanday C, D S x D + c x F =
• R maydon nol birlikka teng emas.
• R o'timli deb: c ≤ d bo'lsa, d ≤ f, keyin ≤ c f har qanday C, D uchun, f R.
• R va Kiritilgan tartibda bog'lanadi: agar c ≤ d, keyin barcha C, D uchun + F ≤ d + F c, R. f
• bog'langan R va ayirish maqsadida: 0 ≤ S, har bir C uchun, keyin 0 ≤ d, 0 ≤ c x d, R. d bo'lsa
• salbiy va ijobiy real sonlar uzluksiz bo'lgani bilan, ya'ni, har bir C uchun, R f d, R, deb c ≤ f ≤ d dan mavjud.

Module maydon R

real sonlar bir modul kabi bir narsa o'z ichiga oladi. deb tayinlangan | f | R. har qanday f | | f = F, f va ≤ 0 bo'lsa | f | = -f, agar 0> f. Biz bir geometrik qiymati sifatida modul ko'rib bo'lsa, bu masofa - u baribir, ijobiy yoki oldinga uchun salbiy nol deb sizni "o'tgan".

Murakkab va real sonlar. o'xshashlik va farqlar bor?

, Katta murakkab va real sonlar va - ular bir va birinchi Tasavvur birligi i qo'shildi tashqari, bir xil, kvadrat bo'lgan -1 ga teng bo'ladi. Elementlari R-joylari va C quyidagi formula bilan vakili mumkin:

• c = d + f x, bu erda d, R tegishli f, va i - xayoliy birlik.

shunchaki, ya'ni nol bo'lishi taxmin bu holatda R f c olish uchun, raqam faqat real qismi bor. kompleks sonlar maydonidir real sohasidagi sifatida belgilangan Shu xususiyati, f x i = 0 f = 0, chunki.

regards amaliy farqlar bilan, R, masalan kvadrat tenglama C box xayoliy birligidan i kiritish orqali, bu cheklash zo'rlab emas esa aql-idrok, salbiy bo'lsa hal qilinishi mumkin emas.

natijalar

o'zgarish "G'isht" va tayanch matematikaga, o'zgartirish emas qaysi postulat. tufayli axborot ortishi va yangi nazariyalar joriy qilish, ulardan ba'zilari ustiga kelajakda keyingi qadam uchun asos bo'lishi mumkin quyidagi "g'isht", joylashtirilgan. Misol uchun, tabiiy sonlar, ular real maydon R, bir kichik majmui bo'lgan bo'lsa-da, uning dolzarbligi yo'qotish emas. Bu ularga tinchlik odam bilishdan boshlanadi, barcha elementar arifmetik, asosidir.

nuqtai amaliy nazaridan, real sonlar to'g'ri chiziq kabi qarash. Bu kelib chiqishi va maydonni aniqlash, bir yo'nalishini tanlash mumkin. To'g'ridan-to'g'ri qat'i nazar, yoki yo'qligini oqilona, bir yagona real raqamiga mos keladigan har qaysi nuqtalari cheksiz soni iborat. tavsifidan, biz umuman matematika asoslangan tushunchasi va gaplashayotgan deb ochiq-oydin emas , matematik tahlil , xususan.